Estereorradián

Este post complementa el anterior de intensidad luminosa.

Lamento que sea algo pesado de leer. No he podido evitar incluir literatura matemática.

Si por ejemplo tenemos una bombilla de 650 lm a 10 metros de la pared, y el haz luminoso se concentra en un área de 5m²; y sabiendo que 1 cd = 1 lm / sr , ¿cuántas candelas de intensidad luminosa emite esa bombilla?

Necesitamos pues, conocer el ángulo 3D de emisión de radiación de esa bombilla, es decir en los ejes X, Y y Z. Estamos suponiendo un punto emisor, por lo que en realidad los cálculos son aproximados.

Al considerar un punto emisor de luz, y en los 3 ejes: X, Y, Z , el caso de mayor ángulo 3D sería emitir en todos los puntos de una esfera, teniendo el emisor en su centro.

Si en 2D se utiliza la unidad del S.I. radián para medir la longitud de un arco de una circunferencia, dado un ángulo θ y un radio r desde su centro, y sabiendo que:

radián (rad) = unidad de ángulo plano del sistema internacional, equivalente a un ángulo cuyo arco tiene igual longitud que el radio.

Es decir, en 2D, los 360º de una circurferencia son 2π radián.

Por extensión, en 3D, a la unidad se le denominó estereorradián, y, al igual que el radián, es una unidad del Sistema Internacional, clasificada como unidad derivada.

Y, en 3D al ángulo, para diferenciarlo del usado en 2D, se le denomina ángulo sólido, con símbolo Ω.

estereorradián  ( sr ) = unidad de ángulo sólido del sistema internacional, equivalente al que, con su vértice en el centro de la esfera, determina sobre la superficie de esta un área equivalente a la de un cuadrado cuyo lado es igual al radio de la esfera.

, siendo S la superficie cubierta de la esfera

1 estereorradián, cubre como superficie de la esfera el radio al cuadrado: r²

Sabiendo que el área de una esfera es 4πr² , y que el área de la superficie de un estereorradián es r² , una esfera mide 4π estereorradianes.


Si dividimos la esfera en 4 partes iguales, cada una de las 4 porciones de la esfera, sería π estereorradián.

La relación entre estereorradián y ángulo sólido:


Pues, para una fuente de radiación, que ilumina un ángulo del casquete esférico, usando trigonometría en 2D, el ángulo sólido:

θ = arcos((r-h) / r), siendo S = 2πrh, por lo que:

h / r = 1 / 2π

Volviendo a la pregunta inicial, ¿cuántas candelas de intensidad luminosa emite esa bombilla de 650lm a 10 metros de la pared, con un haz luminoso que se concentra en un área de 5 m² ?

Pues, dado que el flujo total emitido es 650 lm, y se concentra en un área, podemos sacar el ángulo sólido usando esta fórmula:

 Ω = S / r² = 5 / 10² = 0.05 sr

Así, la intensidad luminosa del haz de la bombilla será:

I = 650 lm / 0.05 sr ≈ 13000 cd

Si, en cambio fuese un emisor de luz en todas las direcciones: tendríamos:

I = 650 lm / 4π sr ≈ 51,7254 cd






Referencias:
- https://dle.rae.es/
- https://es.wikipedia.org/wiki/Radi%C3%A1n
- https://es.wikipedia.org/wiki/Estereorradi%C3%A1n
- https://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/estereorradian.html
- https://es.slideshare.net/JarKerOrdez/intensidad-luminosa-50775630
- https://en.wikipedia.org/wiki/Candela